![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
andresolС детства мне говорили, что на ноль делить нельзя. Я же подозревал, что меня обманывают. Учителя, учебники и калькуляторы скрывают от меня всю правду. И я верил, что «настоящие-то математики» знают, как делить на ноль, и когда я вырасту, то тоже научусь и буду подсмеиваться над теми, кто пока не умеет делить на ноль.
Почему запрещают делить на ноль в школьных учебниках мне было ясно: их авторы не хотят грузить детей той математикой, которая им не по зубам. Так в начальной школе могут научить, что нельзя из меньшего числа вычесть большее, например, из 7 нельзя вычесть 9, но в средней уже всё прекрасно вычитается, и получаются отрицательные числа: 7 – 9 = –2. Калькуляторы могли вычитать бóльшие числа из меньших, но выдавали ошибку в случае деления на ноль. В то же время калькуляторы выдавали ошибку, если я пытался возвести очень большое число в квадрат. Но это же не означало, что натуральные числа конечны и существует «самое большое число», к которому уже никак нельзя прибавить ещё единицу. Очевидно, что в калькуляторах было запрограммировано максимальное отображаемое число. Как мне было не предположить, что их нежелание делить на ноль – это столь же искусственное ограничение, заложенное не математикой, а разработчиками калькуляторов.
Помню, как в своё время меня поразило наблюдение, что когда мы делим единицу на всё уменьшающиеся по модулю числа, результат становится всё больше и больше: 1 / 0,01 = 100, 1 / 0,001 = 1000, а 1 / 10–100 = 10100. Я уже знал, что в математике есть понятие бесконечности, обозначаемое красивым значком ∞ в виде восьмёрки, повёрнутой на угол π/2. И мне казалось абсолютно логичным заключить, что при уменьшении делителя до нуля частное увеличится до бесконечности: 1/0 = ∞. Всё просто: учебники и калькуляторы боялись бесконечности. И я пребывал в уверенности, что наконец умею делить на ноль, пока не познакомился с понятием предела и попытался понять тонкое различие между фразами «равняется» и «в пределе стремится к». От моей уверенности не осталось и следа.
У меня оставалась надежда, что если деление на ноль не бесконечность, то какое-нибудь другое, «обнулённое» число. Я продолжал верить в способность математиков доставить из математической вселенной новые сущности как кроликов из шляпы Фибоначчи. Выдумали же, что «невозможный» квадратный корень из отрицательного числа –1 – это всего лишь мнимая единица i. Почему бы и с делением на ноль не заявить, что 1/0 = некоторому числу ξ' с такими-то и такими-то свойствами? Краем уха я слыхал о некоей «теории колеса», которая обещала объяснить и включить деление на ноль – не это ли тот грааль, который я ищу?
Итак, нам надо решить уравнение 1/0 = x, выглядящее как задача на уровне начальной школы. Вариант, что на ноль делить нельзя, ни в каких обстоятельствах и ни в каких числах, я считал обидным для математического сообщества, которое на каждое хитрое уравнение найдёт свой корень с индексом. Варианты, что 1/0 = 0 или 1/0 = 1, я отвергал, как слишком простые. Если бы так можно было, об этом рассказывали бы во втором классе. Заманчиво, но опасно выглядел вариант, что 1/0 = ∞. И, в худшем случае, приходилось признать, что разделив на ноль, мы перенесёмся в область совершенно новых и необычных чисел, где можно для начала заявить, что 1/0 = колесо, а потом уже разбираться, с чем это колесо едят. Один из этих вариантов должен быть правильный, но какой?
Я попробовал разобраться на бытовом примере. Начнём с деления, которое мы знаем, как осуществить. Нам надо разделить семь колец среди семи драконов, сколько колец получит каждый дракон?
Любому хоббиту понятно, что 7/7 = 1, по одному кольцу.
Мы настолько ловки в математике, что можем разделить и ноль колец среди 7 драконов.
Тогда каждому дракону достанется 0/7 = 0 колец, то есть ничего не достанется.
А теперь допустим, что 7 колец у нас есть, а драконов не существует, если разделить 7 колец среди нуля драконов, сколько колец достанется каждому дракону?
И здесь я завис. Такое впечатление, что сама природа не терпит деления на ноль. Но в математике же всё не как в жизни. Она оперирует не бытовыми, а абстрактно-фантастическими понятиями. Если у вас было 7 колец и дракон украл 9 из них, сколько колец у вас осталось? Ни одного? А вот и нет! Математика говорит, что у вас осталось 7 – 9 = –2 кольца. Вот когда вам дракон вернёт два кольца, тогда у вас ничего не останется. Почему же математика не может придумать аналогичную лазейку с делением на ноль?
Если королю надо разделить королевство между семью сыновьями – это проблема политическая. А если ему надо разделить то же королевство между нулём сыновей – это проблема совсем другого порядка, не только политическая и семейная, но и математическая.
Король вызвал главного придворного математика и приказал ему разрешить загадку деления на ноль, если тот хочет сохранить своё тёплое местечко.
Мудрец начал рассуждать так:
«Если мы разделим одно королевство на ноль сыновей, то мы получим некий х.
1/0 = х.
Умножим обе части этого равенства на 2: мы же можем себе такое позволить.
2 * 1/0 = 2 * х
2/0 = 2х
Теперь в дроби, стоящей в левой части, разделим и числитель, и знаменатель на 2 или, что то же самое, умножим на 1/2.
(2/2) / (0/2) = 2х
1/0 = 2х
Но мы начали с того, что 1/0 – это х.
х = 2х.
Разделим обе части этого равенства на х, и получим, что 1 = 2. Хм… Нехорошо получилось».
– Это же ересь, без суда понятно, что ересь, – разозлился король. – Что же получается: если начать делить королевство на ноль, то всё позволено? Единица станет равной двойке, а последний крестьянин равен королю?
Временно исполняющим должность главного придворного математика король назначил своего казначея. Кто как не он должен уметь манипулировать с числами, чтобы каждый раз получать удобный для короля результат.
Казначей для начала заметил:
«Деление представляет собой последовательное вычитание, аналогично тому, как умножение есть последовательное сложение. Вопрос “Сколько будет 2 х 3?” эквивалентен тому, чтобы спросить “Сколько получится, если к нулю три раза прибавить число 2?”:
2 * 3 = 0 + 2 + 2 + 2 = 6.
А “Сколько будет 6 / 2?” тогда эквивалентно вопросу “Сколько раз надо вычесть число 2 из 6, чтобы получить 0?”:
6 / 2 = 6 – 2 – 2 – 2 = 0.
Три раза. Поэтому 6/2 = 3.
Чему же тогда будет равно 6/0? Тому, сколько раз надо вычесть ноль из шести, чтобы получился ноль. Начинаем вычитать: 6 минус 0, равно 6. Минус 0, минус 0. Трёх раз, как видно, недостаточно. Продолжим, минус 0, минус 0…»
6 – 0 – 0 –… – 0 = 6.
Казначей начал подозревать, что вычитать ноль из шести можно бесконечно много раз, и так и не достигнуть нуля, и очень этому факту обрадовался. Получается, что деление на ноль не число, а процесс. И этот процесс обещал быть долгим и обеспечить его непыльной бюрократической работой при дворе в качестве главного делителя на ноль. Лишь бы за неё вовремя платили зарплату. А там или он помрёт, или король.
Но знаете, что не было бесконечным? Королевское терпение. После сотого вычитания король спросил:
– По этому алгоритму 0/0 = 0, потому что из нуля не надо ни сколько раз вычитать ноль, чтобы получить ноль. Так ли это?
– О, ваше величество, вы очень наблюдательны, – ответил казначей, прервав свои вычитания. – Точно так же определил деление нуля на ноль индийский математик Брахмагупта, который в 7 веке нашей эры одним из первых признал ноль за отдельное число. Умные были эти древние математики, не чета нынешним.
И казначей насмешливо посмотрел на бывшего главного придворного математика.
Но от короля последовал новый вопрос:
– И как этот Брахмагупта делил 1 на 0?
– Никак, ваше величество. Он определил результат деления положительного или отрицательного числа на ноль как дробь с нулём в знаменателе.
– Через это мы уже проходили, – сердито сказал король. – Кончайте ваши глупости с вычитанием, вы так до утра не дойдёте до нуля.
После того, как второй придворный мудрец остался с нулём, во дворец пригласили стороннего эксперта. Седобородый глава Гильдии Математиков предложил подойти к проблеме графически с привлечением основ матанализа и начал объяснять как можно понятнее:
«График функции y = 1 / x при приближении к x = 0 справа улетает в высь, по направлению к «y равняется очень-очень большому числу» или y = +∞.
С этим графиком существует одно наивное объяснение, почему якобы нельзя делить на ноль. Посмотрите сами: график функции y = 1 / x состоит из двух ветвей гиперболы. Одна находится в области положительных значений, где по мере того, как мы приближаемся к нулю справа по оси абсцисс, значение функции уходит в плюс бесконечность. А вот если мы проделаем тот же трюк с левой ветвью того же графика, в области отрицательных значений, то при приближении к нулю слева мы резко уходим вниз к y = –∞. И я однажды слышал “объяснение”, что раз пределы при приближении к нулю справа и слева не совпадают, то предела не существует, то есть существуют два разных односторонних предела, и поэтому делить на ноль нельзя. Ха-ха-ха!
Если бы дело было только в знаке бесконечности, к которой мы стремимся, то мы могли бы взять другой график, например y = 1 / x2:
Или, что ещё проще, y = 1 / |x|.
.png)
Здесь значения функции только положительны, и при приближении к x = 0 что справа, что слева, значение функции y стремится к +∞. Значит ли, что на ноль мы делить не можем, а вот на ноль в квадрате или на модуль нуля – пожалуйста, и мы получим +∞?
Нет, не значит. Проблема не в том, что предела не существует. При желании мы можем записать, что предел 1/x при x, стремящемся к нулю, есть беззнаковая бесконечность ∞ или ±∞.
Отвлечёмся на минуту от вопроса, что это за зверь «бесконечность» и почему она является не числом, а философской концепцией. Проблема в самом определении предела. Мы получаем бесконечность, когда делим 1 на число очень-очень близкое к нулю, но не на сам ноль. Я не хочу клеветать на математический анализ. Он очень полезен для раскрытия некоторых неопределённых форм. Если мы рассмотрим пределы других функций, чей знаменатель стремится к нулю при x → 0, мы можем получить самые разные значения: ноль, единицу, бесконечность:
Нет же ничего удивительного в том, что даже очень маленькое по модулю число, разделённое на само себя, даст единицу? Но предел функции – это всего лишь предел. Функция y = 1 / x не непрерывна в нуле, поэтому мы можем описать поведение функции сколь угодно близко к нулю, но не в самом нуле. Здесь в нуле, вне области определения функции y = 1 / x, математический анализ оказывается бессилен».
Глава Гильдии Математиков умолк и развёл руками, а король воскликнул:
– Воистину, если бог создал всё, то кто создал ничего, то есть ноль? Дьявол! Неужели в этой стране не найдётся никого, кто мог с ним совладать и разделить единицу на проклятый ноль?
Слово взял королевский астролог, хитрец и льстец.
Помня о судьбе первых трёх мудрецов, он сразу сказал: «На ноль делить можно! Говорят, что чёрные дыры – это места, где боги поделили на ноль».
И, завладев всеобщим вниманием, астролог продолжил:
«Если на нашей числовой оси нет числа, которое бы отображало результат деления на ноль, его надо добавить. Обозначим его ∞ и назовём его “королевская бесконечность”, потому что всё могут короли, даже делить на ноль. Для этого ось действительных чисел надо изогнуть так, что за самым-самым большим числом будет идти ∞, и за самым-самым маленьким числом будет идти та же ∞. Налево пойдёшь, придёшь в ∞. Направо пойдёшь, придёшь в ∞.
Числовая ось из бесконечно длинной прямой замкнулась в окружность, которую мы назовём проективно расширенной числовой прямой. Она всё ещё содержит бесконечно много чисел: все вещественные числа, которые были на оси, плюс новое число ∞. А если бы мы оперировали комплексной плоскостью, то четыре прямые, уходящие из нуля соответственно в сторону 1, –1, i и –i, замкнулись бы в новой точке ∞ в сферу Римана. Какая красота.
Такой процесс ещё называется одноточечной компактификацией. И в этом случае мы можем смело утверждать, что 1/0 строго равно ∞».
– А чему тогда равно 2/0? – не менее строго спросил король.
– Тоже ∞.
– А если тоже ∞, то не получится ли, что 1/0 = ∞ и 2/0 = ∞; 1 = ∞ * 0 и 2 = ∞ * 0. Не придём ли мы к той же ереси, что 1=2?
– Нет, о король, – ответил хитрый астролог. – Разве из того, что 22 = 4 и (–2)2 = 4, следует, что 2 = –2? И как мы не можем по четвёрке однозначно предсказать, какое число было возведено в квадрат, положительное или отрицательное, так и мы не можем по ∞ предсказать, какое число было разделено на ноль. Деление на ноль в нашей системе – особая функция, у которой нет обратной к ней операции.
– У нас было, что каждое число, умноженное на ноль, даёт ноль. Значит ли, что ∞ * 0 = 0?
– Э-э-э, не совсем, – ответил мудрец. – Выражение ∞ * 0 остаётся не определено, как и 0/0, ∞/∞, ∞ + ∞, ∞ – ∞ и…
– Хватит! – закричал рассерженный король. – Я вижу, что мы научились делить на ноль, но разучились на него умножать. Правы были математики древности, которые боялись бесконечности не меньше нуля и драконов. У вас вечно, если можно одно, то нельзя другое, а если всё можно, тогда 1 = 2, и любой крестьянин не хуже придворного мудреца.
С этими словами во дворец зашёл простой крестьянский парень, который нёс с собой огромное деревянное колесо.
Он рассказал, как чинил под городской стеной телегу и услышал, что король никак не может разделить на ноль. Тогда он решил подсобить своему монарху и в процессе починки телеги придумал новую алгебраическую структуру под названием «колесо». Для этого помимо элемента 1/0 = ∞, предложенного астрологом, добавлялся ещё один нижний (или народный) элемент ⊥ = 0/0, который служил осью для обода из проективно расширенной числовой прямой.
.png)
Парень объяснил, что отныне x – x ≠ 0, а x – x = 0x2 и что x / x больше ≠ 1, а x / x = 1 + 0x / x. На словах «заменим бинарный оператор деления, обратный к умножению, на унарный оператор с одним аргументом» король попросил не выражаться. Он велел выдать крестьянину пару золотых за попытку и старания и отправил его чинить телегу дальше.
– Может быть крестьяне не хуже мудрецов, – заключил король, – но и не лучше. Мудрецы хотя бы понятнее объясняют. Мне надо упростить существующую математику, а не усложнить её. Если люди не могут решить мою загадку, то может быть помогут машины?
С этими словами король велел позвать королевского программиста, чтобы тот принёс в тронный зал главный королевский компьютер.
Когда программист и компьютер предстали перед королём и выслушали, что от них требуется, программист спросил компьютер на языке Java: «int x = 1; int y = 0; сколько будет x / y?» Самый большой компьютер подумал-подумал и вылетел, выдав ошибку деления на ноль.
И только король нахмурился, спросив, нет ли в королевстве другого компьютера поумнее, как программист вспомнил, что надо задать вопрос не в целых числах, а в так называемых числах с плавающей запятой, у которые свои инженерные стандарты. На этот раз компьютер напечатал, что 1/0 равняется +Infinity, то есть той же +∞, от которой король успел отказаться. А –1/0 или 1/–0.0 равняются –Infinity.
Тогда король задал компьютеру свой коронный вопрос, чему равно 0/0, и компьютер ответил, что получится NaN (Not-a-Number) или по-русски «нечисло».
– Что такое нечисло?
– Некий новый объект с частью математических свойств определённых, а частью неопределённых. Например, «нечисло» не равно никакому другому числу, включая самого себя NaN ≠ NaN.
– А сколько будет 0 * ∞?
– NaN .
– А сколько будет 1/0 – 1/0?
– NaN .
Последний ответ особенно возмутил короля. Как так: мы вычитаем одно и то же выражение из себя самого, а получаем «нечисло». Что-то здесь нечисто.
– Унесите компьютер, – приказал король. – Можно заставить машину делить на ноль, но что делать с полученным мусором?
– Компьютер не виноват: он выдаёт только то, чему его научили люди, – раздался спокойный женский голос.
Король обернулся и увидел, как девушка, стоявшая всё это время в тени, сняла капюшон и сказала:
«Меня зовут Изабель, я представитель Ордена формальных доказательств. Мы создаём доказательства математических теорем на языке, который компьютер может проверить на отсутствие логических и лингвистических ошибок, столь свойственных языку человеческому, на котором те же теоремы доказывались у вас в школе.
В чём главная загадка деления на ноль? Если деление обратно умножению, то процедура обратная делению на ноль есть умножение на ноль. Мы знаем, что все числа, будучи умноженные на ноль, дают ноль. Поэтому кажется, что только выражение 0/0 имеет смысл, но и оно представляет собой неопределённую форму (indetermined). Как показал мой коллега из Гильдии Математиков, эта форма в пределе может быть сведена к любому числу. Выражение 1/0 при этом полностью не определено (undefined). Что это означает? В той формальной системе, в которой мы работаем, нельзя найти его значение. Мои коллеги пытались перейти от реальных чисел к «нереальным», но при этом им приходилось жертвовать некоторыми свойствами реальных чисел. Если жертвовать всё равно придётся, не проще ли переопределить саму процедуру деления, не изобретая новых чисел?
Что есть деление? Умножение на элемент обратный делителю. Деление на 2 есть умножение на 1/2, не так ли? Поэтому деление на ноль есть умножение на элемент обратный нулю: N / 0 = N * 1/0. Нам осталось только определить, чему 1/0 равно. Для формальных доказательств теорем оказалось удобным принять, что 1/0 = 0, каким бы странным этот шаг ни казался. Признание нуля как отдельного числа тоже когда-то казалось странным. И тогда N / 0 = N * 1/0 = 0. Все числа, делённые на ноль, есть ноль. Зачем нам это? Ради упрощения некоторых утверждений, где в случае дробей проверка, что их знаменатель не равен нулю становится необязательна. Например, при умножении дробей (a / b) * (c / d) = ac / bd мы раньше должны были явно обговорить, что эта операция верна, только если b ≠ 0 и d ≠ 0. Но если N / 0 = 0, то пусть b или d будут нулём, выражение (a / b) * (c / d) = ac / bd само сведётся к 0 = 0 без ограничений на значения b и d».
– Но чему тогда равно 0 * 0? – встрял король. – Если 1/0 = 0 и 2/0 = 0, то не получится ли тогда…
– Не получится ли тогда у нас тривиальное кольцо R = {0}, 0/0 = 0, в котором все элементы равны друг другу, потому что элемент всего один и он равен нулю? – переспросила Изабель. – Не получится. После определения 1/0 = 0, 0 * 0 останется равным 0, а не 1 или 2. Мы потеряли обратимость деления в случае деления на ноль, но это не такая большая жертва по сравнению с выдумыванием новых чисел и сущностей. Тем более, что раньше мы делить на ноль вообще не могли.
– Тогда получается, что деля моё королевство на ноль, я останусь ни с чем?
– Получается.
Все замолчали, и король впал в печальную задумчивость. И тут королевский шут запел песенку:
Один король делил на ноль,
Никто не знал отгадки.
Любым числом ответь изволь,
Корону спрячь в остатке.
– Как это «корону в остатке»? – очнулся король.
– Разве вы не знаете определения остатка от деления? – спросил шут. – «Делимое = частное * делитель + остаток». И вы не будете спорить, что:
1 = (любое число) * 0 + 1
1 = 0 + 1
1 = 1.
Значит, результатом деления 1/0 будет любое число, например, 42, а единица, с которой мы начинали, останется в остатке. Я всю жизнь так делю на ноль безо всяких колёс и переопределений.
***
Вот к такому выводу я пришёл, изучив доступные моему пониманию материалы о делении на ноль. Мой брат математик, который сам много работал над формальным доказательством теорем, принимает, что 1/0 = 0, а меня что-то смущает. Если бы строгий учитель или, что хуже, любопытный ученик спросил меня, чему равно 1/0, я бы всё равно ответил, что в арифметике эта операция не определена. Но если очень хочется её определить, то существует непустое множество математиков, которые определяют её как 1/0 = 0.
Если кольца существуют, а драконы нет, то каждый несуществующий дракон получит ноль колец. Но они не рассердятся, потому что как могут рассердиться те, кого не существует.
А вы что думаете? Научилось человечество к 21 веку делить на ноль? А если нет, то научится ли когда-нибудь?
Почему запрещают делить на ноль в школьных учебниках мне было ясно: их авторы не хотят грузить детей той математикой, которая им не по зубам. Так в начальной школе могут научить, что нельзя из меньшего числа вычесть большее, например, из 7 нельзя вычесть 9, но в средней уже всё прекрасно вычитается, и получаются отрицательные числа: 7 – 9 = –2. Калькуляторы могли вычитать бóльшие числа из меньших, но выдавали ошибку в случае деления на ноль. В то же время калькуляторы выдавали ошибку, если я пытался возвести очень большое число в квадрат. Но это же не означало, что натуральные числа конечны и существует «самое большое число», к которому уже никак нельзя прибавить ещё единицу. Очевидно, что в калькуляторах было запрограммировано максимальное отображаемое число. Как мне было не предположить, что их нежелание делить на ноль – это столь же искусственное ограничение, заложенное не математикой, а разработчиками калькуляторов.
Помню, как в своё время меня поразило наблюдение, что когда мы делим единицу на всё уменьшающиеся по модулю числа, результат становится всё больше и больше: 1 / 0,01 = 100, 1 / 0,001 = 1000, а 1 / 10–100 = 10100. Я уже знал, что в математике есть понятие бесконечности, обозначаемое красивым значком ∞ в виде восьмёрки, повёрнутой на угол π/2. И мне казалось абсолютно логичным заключить, что при уменьшении делителя до нуля частное увеличится до бесконечности: 1/0 = ∞. Всё просто: учебники и калькуляторы боялись бесконечности. И я пребывал в уверенности, что наконец умею делить на ноль, пока не познакомился с понятием предела и попытался понять тонкое различие между фразами «равняется» и «в пределе стремится к». От моей уверенности не осталось и следа.
У меня оставалась надежда, что если деление на ноль не бесконечность, то какое-нибудь другое, «обнулённое» число. Я продолжал верить в способность математиков доставить из математической вселенной новые сущности как кроликов из шляпы Фибоначчи. Выдумали же, что «невозможный» квадратный корень из отрицательного числа –1 – это всего лишь мнимая единица i. Почему бы и с делением на ноль не заявить, что 1/0 = некоторому числу ξ' с такими-то и такими-то свойствами? Краем уха я слыхал о некоей «теории колеса», которая обещала объяснить и включить деление на ноль – не это ли тот грааль, который я ищу?
Итак, нам надо решить уравнение 1/0 = x, выглядящее как задача на уровне начальной школы. Вариант, что на ноль делить нельзя, ни в каких обстоятельствах и ни в каких числах, я считал обидным для математического сообщества, которое на каждое хитрое уравнение найдёт свой корень с индексом. Варианты, что 1/0 = 0 или 1/0 = 1, я отвергал, как слишком простые. Если бы так можно было, об этом рассказывали бы во втором классе. Заманчиво, но опасно выглядел вариант, что 1/0 = ∞. И, в худшем случае, приходилось признать, что разделив на ноль, мы перенесёмся в область совершенно новых и необычных чисел, где можно для начала заявить, что 1/0 = колесо, а потом уже разбираться, с чем это колесо едят. Один из этих вариантов должен быть правильный, но какой?
Я попробовал разобраться на бытовом примере. Начнём с деления, которое мы знаем, как осуществить. Нам надо разделить семь колец среди семи драконов, сколько колец получит каждый дракон?
Любому хоббиту понятно, что 7/7 = 1, по одному кольцу.
Мы настолько ловки в математике, что можем разделить и ноль колец среди 7 драконов.
Тогда каждому дракону достанется 0/7 = 0 колец, то есть ничего не достанется.
А теперь допустим, что 7 колец у нас есть, а драконов не существует, если разделить 7 колец среди нуля драконов, сколько колец достанется каждому дракону?
И здесь я завис. Такое впечатление, что сама природа не терпит деления на ноль. Но в математике же всё не как в жизни. Она оперирует не бытовыми, а абстрактно-фантастическими понятиями. Если у вас было 7 колец и дракон украл 9 из них, сколько колец у вас осталось? Ни одного? А вот и нет! Математика говорит, что у вас осталось 7 – 9 = –2 кольца. Вот когда вам дракон вернёт два кольца, тогда у вас ничего не останется. Почему же математика не может придумать аналогичную лазейку с делением на ноль?
Если королю надо разделить королевство между семью сыновьями – это проблема политическая. А если ему надо разделить то же королевство между нулём сыновей – это проблема совсем другого порядка, не только политическая и семейная, но и математическая.
Король вызвал главного придворного математика и приказал ему разрешить загадку деления на ноль, если тот хочет сохранить своё тёплое местечко.
Мудрец начал рассуждать так:
«Если мы разделим одно королевство на ноль сыновей, то мы получим некий х.
1/0 = х.
Умножим обе части этого равенства на 2: мы же можем себе такое позволить.
2 * 1/0 = 2 * х
2/0 = 2х
Теперь в дроби, стоящей в левой части, разделим и числитель, и знаменатель на 2 или, что то же самое, умножим на 1/2.
(2/2) / (0/2) = 2х
1/0 = 2х
Но мы начали с того, что 1/0 – это х.
х = 2х.
Разделим обе части этого равенства на х, и получим, что 1 = 2. Хм… Нехорошо получилось».
– Это же ересь, без суда понятно, что ересь, – разозлился король. – Что же получается: если начать делить королевство на ноль, то всё позволено? Единица станет равной двойке, а последний крестьянин равен королю?
Временно исполняющим должность главного придворного математика король назначил своего казначея. Кто как не он должен уметь манипулировать с числами, чтобы каждый раз получать удобный для короля результат.
Казначей для начала заметил:
«Деление представляет собой последовательное вычитание, аналогично тому, как умножение есть последовательное сложение. Вопрос “Сколько будет 2 х 3?” эквивалентен тому, чтобы спросить “Сколько получится, если к нулю три раза прибавить число 2?”:
2 * 3 = 0 + 2 + 2 + 2 = 6.
А “Сколько будет 6 / 2?” тогда эквивалентно вопросу “Сколько раз надо вычесть число 2 из 6, чтобы получить 0?”:
6 / 2 = 6 – 2 – 2 – 2 = 0.
Три раза. Поэтому 6/2 = 3.
Чему же тогда будет равно 6/0? Тому, сколько раз надо вычесть ноль из шести, чтобы получился ноль. Начинаем вычитать: 6 минус 0, равно 6. Минус 0, минус 0. Трёх раз, как видно, недостаточно. Продолжим, минус 0, минус 0…»
6 – 0 – 0 –… – 0 = 6.
Казначей начал подозревать, что вычитать ноль из шести можно бесконечно много раз, и так и не достигнуть нуля, и очень этому факту обрадовался. Получается, что деление на ноль не число, а процесс. И этот процесс обещал быть долгим и обеспечить его непыльной бюрократической работой при дворе в качестве главного делителя на ноль. Лишь бы за неё вовремя платили зарплату. А там или он помрёт, или король.
Но знаете, что не было бесконечным? Королевское терпение. После сотого вычитания король спросил:
– По этому алгоритму 0/0 = 0, потому что из нуля не надо ни сколько раз вычитать ноль, чтобы получить ноль. Так ли это?
– О, ваше величество, вы очень наблюдательны, – ответил казначей, прервав свои вычитания. – Точно так же определил деление нуля на ноль индийский математик Брахмагупта, который в 7 веке нашей эры одним из первых признал ноль за отдельное число. Умные были эти древние математики, не чета нынешним.
И казначей насмешливо посмотрел на бывшего главного придворного математика.
Но от короля последовал новый вопрос:
– И как этот Брахмагупта делил 1 на 0?
– Никак, ваше величество. Он определил результат деления положительного или отрицательного числа на ноль как дробь с нулём в знаменателе.
– Через это мы уже проходили, – сердито сказал король. – Кончайте ваши глупости с вычитанием, вы так до утра не дойдёте до нуля.
После того, как второй придворный мудрец остался с нулём, во дворец пригласили стороннего эксперта. Седобородый глава Гильдии Математиков предложил подойти к проблеме графически с привлечением основ матанализа и начал объяснять как можно понятнее:
«График функции y = 1 / x при приближении к x = 0 справа улетает в высь, по направлению к «y равняется очень-очень большому числу» или y = +∞.
С этим графиком существует одно наивное объяснение, почему якобы нельзя делить на ноль. Посмотрите сами: график функции y = 1 / x состоит из двух ветвей гиперболы. Одна находится в области положительных значений, где по мере того, как мы приближаемся к нулю справа по оси абсцисс, значение функции уходит в плюс бесконечность. А вот если мы проделаем тот же трюк с левой ветвью того же графика, в области отрицательных значений, то при приближении к нулю слева мы резко уходим вниз к y = –∞. И я однажды слышал “объяснение”, что раз пределы при приближении к нулю справа и слева не совпадают, то предела не существует, то есть существуют два разных односторонних предела, и поэтому делить на ноль нельзя. Ха-ха-ха!
Если бы дело было только в знаке бесконечности, к которой мы стремимся, то мы могли бы взять другой график, например y = 1 / x2:
Или, что ещё проще, y = 1 / |x|.
Здесь значения функции только положительны, и при приближении к x = 0 что справа, что слева, значение функции y стремится к +∞. Значит ли, что на ноль мы делить не можем, а вот на ноль в квадрате или на модуль нуля – пожалуйста, и мы получим +∞?
Нет, не значит. Проблема не в том, что предела не существует. При желании мы можем записать, что предел 1/x при x, стремящемся к нулю, есть беззнаковая бесконечность ∞ или ±∞.
Отвлечёмся на минуту от вопроса, что это за зверь «бесконечность» и почему она является не числом, а философской концепцией. Проблема в самом определении предела. Мы получаем бесконечность, когда делим 1 на число очень-очень близкое к нулю, но не на сам ноль. Я не хочу клеветать на математический анализ. Он очень полезен для раскрытия некоторых неопределённых форм. Если мы рассмотрим пределы других функций, чей знаменатель стремится к нулю при x → 0, мы можем получить самые разные значения: ноль, единицу, бесконечность:
Нет же ничего удивительного в том, что даже очень маленькое по модулю число, разделённое на само себя, даст единицу? Но предел функции – это всего лишь предел. Функция y = 1 / x не непрерывна в нуле, поэтому мы можем описать поведение функции сколь угодно близко к нулю, но не в самом нуле. Здесь в нуле, вне области определения функции y = 1 / x, математический анализ оказывается бессилен».
Глава Гильдии Математиков умолк и развёл руками, а король воскликнул:
– Воистину, если бог создал всё, то кто создал ничего, то есть ноль? Дьявол! Неужели в этой стране не найдётся никого, кто мог с ним совладать и разделить единицу на проклятый ноль?
Слово взял королевский астролог, хитрец и льстец.
Помня о судьбе первых трёх мудрецов, он сразу сказал: «На ноль делить можно! Говорят, что чёрные дыры – это места, где боги поделили на ноль».
И, завладев всеобщим вниманием, астролог продолжил:
«Если на нашей числовой оси нет числа, которое бы отображало результат деления на ноль, его надо добавить. Обозначим его ∞ и назовём его “королевская бесконечность”, потому что всё могут короли, даже делить на ноль. Для этого ось действительных чисел надо изогнуть так, что за самым-самым большим числом будет идти ∞, и за самым-самым маленьким числом будет идти та же ∞. Налево пойдёшь, придёшь в ∞. Направо пойдёшь, придёшь в ∞.
Числовая ось из бесконечно длинной прямой замкнулась в окружность, которую мы назовём проективно расширенной числовой прямой. Она всё ещё содержит бесконечно много чисел: все вещественные числа, которые были на оси, плюс новое число ∞. А если бы мы оперировали комплексной плоскостью, то четыре прямые, уходящие из нуля соответственно в сторону 1, –1, i и –i, замкнулись бы в новой точке ∞ в сферу Римана. Какая красота.
Такой процесс ещё называется одноточечной компактификацией. И в этом случае мы можем смело утверждать, что 1/0 строго равно ∞».
– А чему тогда равно 2/0? – не менее строго спросил король.
– Тоже ∞.
– А если тоже ∞, то не получится ли, что 1/0 = ∞ и 2/0 = ∞; 1 = ∞ * 0 и 2 = ∞ * 0. Не придём ли мы к той же ереси, что 1=2?
– Нет, о король, – ответил хитрый астролог. – Разве из того, что 22 = 4 и (–2)2 = 4, следует, что 2 = –2? И как мы не можем по четвёрке однозначно предсказать, какое число было возведено в квадрат, положительное или отрицательное, так и мы не можем по ∞ предсказать, какое число было разделено на ноль. Деление на ноль в нашей системе – особая функция, у которой нет обратной к ней операции.
– У нас было, что каждое число, умноженное на ноль, даёт ноль. Значит ли, что ∞ * 0 = 0?
– Э-э-э, не совсем, – ответил мудрец. – Выражение ∞ * 0 остаётся не определено, как и 0/0, ∞/∞, ∞ + ∞, ∞ – ∞ и…
– Хватит! – закричал рассерженный король. – Я вижу, что мы научились делить на ноль, но разучились на него умножать. Правы были математики древности, которые боялись бесконечности не меньше нуля и драконов. У вас вечно, если можно одно, то нельзя другое, а если всё можно, тогда 1 = 2, и любой крестьянин не хуже придворного мудреца.
С этими словами во дворец зашёл простой крестьянский парень, который нёс с собой огромное деревянное колесо.
Он рассказал, как чинил под городской стеной телегу и услышал, что король никак не может разделить на ноль. Тогда он решил подсобить своему монарху и в процессе починки телеги придумал новую алгебраическую структуру под названием «колесо». Для этого помимо элемента 1/0 = ∞, предложенного астрологом, добавлялся ещё один нижний (или народный) элемент ⊥ = 0/0, который служил осью для обода из проективно расширенной числовой прямой.
Парень объяснил, что отныне x – x ≠ 0, а x – x = 0x2 и что x / x больше ≠ 1, а x / x = 1 + 0x / x. На словах «заменим бинарный оператор деления, обратный к умножению, на унарный оператор с одним аргументом» король попросил не выражаться. Он велел выдать крестьянину пару золотых за попытку и старания и отправил его чинить телегу дальше.
– Может быть крестьяне не хуже мудрецов, – заключил король, – но и не лучше. Мудрецы хотя бы понятнее объясняют. Мне надо упростить существующую математику, а не усложнить её. Если люди не могут решить мою загадку, то может быть помогут машины?
С этими словами король велел позвать королевского программиста, чтобы тот принёс в тронный зал главный королевский компьютер.
Когда программист и компьютер предстали перед королём и выслушали, что от них требуется, программист спросил компьютер на языке Java: «int x = 1; int y = 0; сколько будет x / y?» Самый большой компьютер подумал-подумал и вылетел, выдав ошибку деления на ноль.
И только король нахмурился, спросив, нет ли в королевстве другого компьютера поумнее, как программист вспомнил, что надо задать вопрос не в целых числах, а в так называемых числах с плавающей запятой, у которые свои инженерные стандарты. На этот раз компьютер напечатал, что 1/0 равняется +Infinity, то есть той же +∞, от которой король успел отказаться. А –1/0 или 1/–0.0 равняются –Infinity.
Тогда король задал компьютеру свой коронный вопрос, чему равно 0/0, и компьютер ответил, что получится NaN (Not-a-Number) или по-русски «нечисло».
– Что такое нечисло?
– Некий новый объект с частью математических свойств определённых, а частью неопределённых. Например, «нечисло» не равно никакому другому числу, включая самого себя NaN ≠ NaN.
– А сколько будет 0 * ∞?
– NaN .
– А сколько будет 1/0 – 1/0?
– NaN .
Последний ответ особенно возмутил короля. Как так: мы вычитаем одно и то же выражение из себя самого, а получаем «нечисло». Что-то здесь нечисто.
– Унесите компьютер, – приказал король. – Можно заставить машину делить на ноль, но что делать с полученным мусором?
– Компьютер не виноват: он выдаёт только то, чему его научили люди, – раздался спокойный женский голос.
Король обернулся и увидел, как девушка, стоявшая всё это время в тени, сняла капюшон и сказала:
«Меня зовут Изабель, я представитель Ордена формальных доказательств. Мы создаём доказательства математических теорем на языке, который компьютер может проверить на отсутствие логических и лингвистических ошибок, столь свойственных языку человеческому, на котором те же теоремы доказывались у вас в школе.
В чём главная загадка деления на ноль? Если деление обратно умножению, то процедура обратная делению на ноль есть умножение на ноль. Мы знаем, что все числа, будучи умноженные на ноль, дают ноль. Поэтому кажется, что только выражение 0/0 имеет смысл, но и оно представляет собой неопределённую форму (indetermined). Как показал мой коллега из Гильдии Математиков, эта форма в пределе может быть сведена к любому числу. Выражение 1/0 при этом полностью не определено (undefined). Что это означает? В той формальной системе, в которой мы работаем, нельзя найти его значение. Мои коллеги пытались перейти от реальных чисел к «нереальным», но при этом им приходилось жертвовать некоторыми свойствами реальных чисел. Если жертвовать всё равно придётся, не проще ли переопределить саму процедуру деления, не изобретая новых чисел?
Что есть деление? Умножение на элемент обратный делителю. Деление на 2 есть умножение на 1/2, не так ли? Поэтому деление на ноль есть умножение на элемент обратный нулю: N / 0 = N * 1/0. Нам осталось только определить, чему 1/0 равно. Для формальных доказательств теорем оказалось удобным принять, что 1/0 = 0, каким бы странным этот шаг ни казался. Признание нуля как отдельного числа тоже когда-то казалось странным. И тогда N / 0 = N * 1/0 = 0. Все числа, делённые на ноль, есть ноль. Зачем нам это? Ради упрощения некоторых утверждений, где в случае дробей проверка, что их знаменатель не равен нулю становится необязательна. Например, при умножении дробей (a / b) * (c / d) = ac / bd мы раньше должны были явно обговорить, что эта операция верна, только если b ≠ 0 и d ≠ 0. Но если N / 0 = 0, то пусть b или d будут нулём, выражение (a / b) * (c / d) = ac / bd само сведётся к 0 = 0 без ограничений на значения b и d».
– Но чему тогда равно 0 * 0? – встрял король. – Если 1/0 = 0 и 2/0 = 0, то не получится ли тогда…
– Не получится ли тогда у нас тривиальное кольцо R = {0}, 0/0 = 0, в котором все элементы равны друг другу, потому что элемент всего один и он равен нулю? – переспросила Изабель. – Не получится. После определения 1/0 = 0, 0 * 0 останется равным 0, а не 1 или 2. Мы потеряли обратимость деления в случае деления на ноль, но это не такая большая жертва по сравнению с выдумыванием новых чисел и сущностей. Тем более, что раньше мы делить на ноль вообще не могли.
– Тогда получается, что деля моё королевство на ноль, я останусь ни с чем?
– Получается.
Все замолчали, и король впал в печальную задумчивость. И тут королевский шут запел песенку:
Один король делил на ноль,
Никто не знал отгадки.
Любым числом ответь изволь,
Корону спрячь в остатке.
– Как это «корону в остатке»? – очнулся король.
– Разве вы не знаете определения остатка от деления? – спросил шут. – «Делимое = частное * делитель + остаток». И вы не будете спорить, что:
1 = (любое число) * 0 + 1
1 = 0 + 1
1 = 1.
Значит, результатом деления 1/0 будет любое число, например, 42, а единица, с которой мы начинали, останется в остатке. Я всю жизнь так делю на ноль безо всяких колёс и переопределений.
***
Вот к такому выводу я пришёл, изучив доступные моему пониманию материалы о делении на ноль. Мой брат математик, который сам много работал над формальным доказательством теорем, принимает, что 1/0 = 0, а меня что-то смущает. Если бы строгий учитель или, что хуже, любопытный ученик спросил меня, чему равно 1/0, я бы всё равно ответил, что в арифметике эта операция не определена. Но если очень хочется её определить, то существует непустое множество математиков, которые определяют её как 1/0 = 0.
Если кольца существуют, а драконы нет, то каждый несуществующий дракон получит ноль колец. Но они не рассердятся, потому что как могут рассердиться те, кого не существует.
А вы что думаете? Научилось человечество к 21 веку делить на ноль? А если нет, то научится ли когда-нибудь?
![[identity profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/openid.png){kind=small}
no subject
Date: 2025-02-15 02:51 pm (UTC)Отлично!
Кантор вертится в гробу и нервно курит.
no subject
Date: 2025-02-15 03:26 pm (UTC)(no subject)
From:(no subject)
From:(no subject)
From:(no subject)
From:(no subject)
From:(no subject)
From:(no subject)
From:(no subject)
From:no subject
Date: 2025-02-15 03:13 pm (UTC)Удивительно, начиная с крестьянина я немного завис над сущностями.
no subject
Date: 2025-02-15 03:33 pm (UTC)Я не претендую на то, что понятно пересказал теорию колеса (https://en.wikipedia.org/wiki/Wheel_theory (https://en.wikipedia.org/wiki/Wheel_theory)). Но я решил держать математику в посте на «школьном» уровне. Проблема с «колесом», насколько я могу понять, в том, что дополняя вещественные числа двумя новыми числами, мы получаем определение деления на ноль во всех случаях, но другие числовые свойства настолько усложняются, что переходить к «колесу» от общепринятого «кольца» вещественных чисел, непрактично.
А с тем, как и зачем деление на ноль определяется в формальных доказательствах, мне приходится верить на слово моему брату.
(no subject)
From:(no subject)
From:no subject
Date: 2025-02-15 03:22 pm (UTC)На мой профанский ум, в математику можно вводить любую дичь, даже деление на ноль. С одним маленьким требованием: это добавление должно бесшовно прилипнуть к существующему корпусу математики.
Ну, если вы Перельман, то можно попытаться сказать, что какая-то часть корпуса математики неверна и все предшественники не увидели этой ошибки. Перельмана выслушают. Один раз. Но мы не Перельманы.
В удобном приеме 1/0=0 я вижу серьезную нестыковку. Слишком много там сводится к одному и слишком много возникает вольной неопределенности.
(1/x)*x должно давать единицу по определению базовых арифметических действий. Вот когда придумают такое для нул, как говорится...
no subject
Date: 2025-02-15 03:56 pm (UTC)В том-то и дело, что у нас нет сейчас свойства 1/x * x = 1 «для всех чисел». Оно есть только для чисел x ≠ 0, а для x = 0 выражение (1/x * x) неопределено. Если мы определим 1/0 = 0, то мы никак не потеряем то, что имели (1/x * x = 1 для x ≠ 0), но ещё приобретём новое определённое свойство чисел: 1/x * x = 0 для x = 0.
Мой брат уверен, что если бы в школе учили, что 1/0 = 0, то вообще ни у кого не было бы вопросов, почему это так. Но так как решили учить, что 1/0 – запрещённая операция, то у людей, даже очень умных людей, сложился ментальный блок, что это математическое табу, нарушать которое нельзя, если не хочешь прослыть дураком. Точно так же древние греки, со всей своей развитой математикой, не могли признать 0 как отдельное, реально существующее число.
(no subject)
From:(no subject)
From:(no subject)
From:(no subject)
From:(no subject)
From:(no subject)
From:(no subject)
From:(no subject)
From:(no subject)
From:(no subject)
From:no subject
Date: 2025-02-15 03:36 pm (UTC)Вот именно!
Замечательный обзор :)
no subject
Date: 2025-02-15 03:58 pm (UTC)Спасибо! Процесс – это один из вариантов подхода к этой загадке. На ютубе есть видео, как механическому калькулятору, в котором деление «запрограммировано» как последовательное вычитание, дают задание разделить на ноль, и он скатывается в бесконечный цикл, накручивая результат всё выше и выше:
no subject
Date: 2025-02-15 03:37 pm (UTC)Хорошая сказка!
no subject
Date: 2025-02-15 04:00 pm (UTC)Спасибо! У меня есть планы пойти с ней дальше, поэтому важно было получить фидбек от знающий людей, что откровенных ляпов и упущений нет.
(no subject)
From:(no subject)
From:(no subject)
From:(no subject)
From:(no subject)
From:(no subject)
From:(no subject)
From:(no subject)
From:no subject
Date: 2025-02-15 04:22 pm (UTC)no subject
Date: 2025-02-15 05:54 pm (UTC)«Идёт лекция по математике, в аудитории находятся только лектор и три студента. Внезапно пятеро студентов встают и уходят. Лектор говорит:
— Ну вот, сейчас придут ещё двое, и вообще никого не останется».
(https://anekdot.me/wiki/424)
no subject
Date: 2025-02-15 04:27 pm (UTC)А вот если это необходимо для, например, для постройки и движения звездолёта в "нуль-пространстве", тогда пора делать какие то мега квантовые компьютеры.
no subject
Date: 2025-02-15 06:45 pm (UTC)Раздача колец драконам – попытка понять проблему на бытовом примере. Так-то деление на ноль много, где возникает в науке и технике. Есть то ли байка, то ли быль, как американский военный корабль сломался из-за того, что главный корабельный компьютер отключился после попытки разделить на ноль. Поэтому именно когда появились компьютеры, необходимость как-то обрабатывать эту операцию встала особенно остро. И в разделе с королевским программистом я разбираю, как в Java к делению на ноль подходят.
(no subject)
From:no subject
Date: 2025-02-15 05:13 pm (UTC)многобукаф, ниасилил, чем все кончилось, они поженились?
no subject
Date: 2025-02-15 06:04 pm (UTC)В этой истории никто не поженился. У меня было планы сделать крестьянина потерянным королевским сыном, но я решил отложить литературную часть на будущее, а на этот раз сосредоточиться на делении на ноль.
(no subject)
From:(no subject)
From:no subject
Date: 2025-02-15 05:52 pm (UTC)на почти ноль делить можно, а на ноль — неможно?
Л — логика (нет)
no subject
Date: 2025-02-15 06:05 pm (UTC)Ноль – очень особенное число. И я показываю, как на ноль делить можно (вопреки школьным учебникам и многим ютуб-видео), но надо быть аккуратным и понимать, что и зачем делаешь.
(no subject)
From:(no subject)
From:(no subject)
From:(no subject)
From:(no subject)
From:(no subject)
From:(no subject)
From:no subject
Date: 2025-02-15 06:07 pm (UTC)с механическим арифмометром 1950х годов, если его заставить делить на 0.
легко найти, и весьма поучительно
но какой-то особо глубокой философии тут нет, в математике часто бывает,
что обратная операция не существует или не определена или неоднозначна.
математика, как мне кажется, интересна вовсе не этим. не такими вырожденными
примерами или частными случаями. она скорее интересна тем, что находит
очень необычные объекты, учится как их правильно описывать, какие у них
свойства и что вообще возможно, а что нет и особенно когда новые объекты
оказываются связанными неожиданным образом с совсем другими объектами
и их свойствами. как говорил Вейль, больше всего это похоже на хождение по
абсолютно темной комнате и выяснение, что тут можно найти, и что это вообще такое.
сам процесс открытия очень привлекает
no subject
Date: 2025-02-15 07:05 pm (UTC)Да, я находил это видео и даже уже успел дать на него ссылку в комментариях. Одно из самых просматриваемых на ютубе по запросу "division by zero". Оно во многом вдохновило эпизод с казначеем, который собрался бесконечно ноль из шести вычитать.
Меня деление на ноль привлекает своей кажущейся простотой. Потому что сложно найти человека, который о нём не слышал. В школе все сталкивались. А так-то для любителей математике можно писать о красивых и сложных вещах, но о тех же трансфинитных числах и кватернионах, которые тоже всплывали в комментариях, слышали уже далеко не все. Когда я пишу о химии, меня неизбежно тянет в темы и уровень деталей, которые понятны только людям с PhD в химии, а в математике мне и самые основы интересны. Я хотел не только разобраться, какой современный взгляд на проблему деления на ноль, но и представить её в занятной форме, не просто пересказать Википедию.
(no subject)
From:(no subject)
From:(no subject)
From:(no subject)
From:(no subject)
From:(no subject)
From:(no subject)
From:(no subject)
From:(no subject)
From:(no subject)
From:(no subject)
From:no subject
Date: 2025-02-15 06:36 pm (UTC)99,9% обывателям пох...
no subject
Date: 2025-02-15 07:09 pm (UTC)Но 99,9% обывателей слышали о делении на ноль. Пусть 99,9% пох, значит, 0,1% не пох. Если рассматривать все 8 млрд людей как обывателей, это даст потенциальную аудиторию в 8 млн человек. Да даже если русскоговорящие 200 млн взять: 200 тысяч людей, кому моя писанина интересна, – это прекрасно. Обычно 99,999% обывателей пох на то, что я пишу.
(no subject)
From:no subject
Date: 2025-02-15 06:40 pm (UTC)А ми таки продаем или покупаем?
no subject
Date: 2025-02-15 07:13 pm (UTC)Мы уже на том этапе, где можем позволить себе не тратить мозговые усилия на беспокойство о том, продаём мы или покупаем, и тратить их на непрактичную интеллектуальную роскошь рассуждений о возможности деления на ноль.
(no subject)
From:(no subject)
From:(no subject)
From:no subject
Date: 2025-02-15 07:06 pm (UTC)Как сказка — очень хорошо. Читается легко и есть сюжет. Как математическая теория, ну…я склоняюсь к бесконечности.
no subject
Date: 2025-02-15 07:37 pm (UTC)Спасибо! Мне особенно ценно, что сказка не отвлекает от общей математической темы, а делает её доступней. Я раньше тоже склонялся к бесконечности, но после подготовки этого поста склоняюсь к нулю.
no subject
Date: 2025-02-15 07:46 pm (UTC)1. Спасибо, очень неплохо.
2. Сюда надо бы xaxam, например. Его некоторое начало объяснения аксиоматики Пеано мне до сих пор вспоминается.
no subject
Date: 2025-02-15 11:06 pm (UTC)Спасибо.
Я xaxam не так часто читал. Профессиональный математик, а ещё с большим самомнением может, конечно, написать «как на самом деле», но я хотел избежать поучающего тона, что я вот такой умный, разобрался с темой по Википедии и сейчас расскажу вам правду. Мне больше нравится ощутить себя в шкуре сомневающегося короля, который не до конца разобрался в сложных и тонких вещах, но не боится их обсуждать и признавать своё невежество.
(no subject)
From:(no subject)
From:(no subject)
From:(no subject)
From:(no subject)
From:(no subject)
From:no subject
Date: 2025-02-15 07:49 pm (UTC)Одно из лучших объяснений проблемы.
Но почему все говорят, что на ноль делить нельзя, но никто не говорит что нельзя умножать на бесконечность? Почему бесконечность не число, а философия? Почему бесконечное число целых чисел больше бесконечного числа чётных чисел? Почему нужно доказывать, что 0,(9)=1?
no subject
Date: 2025-02-15 08:29 pm (UTC)ноль и бесконечность — это тупо условные понятия.
(no subject)
From:(no subject)
From:no subject
Date: 2025-02-15 07:54 pm (UTC)Красиво оформлено
Но в природе нет целых чисел, всё неточно и приблизительно
и ноль для природы не существует
no subject
Date: 2025-02-15 11:18 pm (UTC)В книге Роджера Пенроуза "The Road to Reality" я читал о том, как соотносится «реальный» мир и «математический» (а ещё тот, который у нас в голове). Есть ли в природе целые числа – не такой уж простой вопрос, когда мы спускаемся до квантующегося мира элементарных частиц. Но это уже или физика, или философия. В математическом мире ноль есть, и записать на бумажке "1/0" я могу.
no subject
Date: 2025-02-15 08:00 pm (UTC)Для решения конкретной технической задачи (и защиты) этого хватило.
Но, понятно, что нужно знать её контекст.
no subject
Date: 2025-02-15 11:21 pm (UTC)Для конкретной технической задачи можно и так поизвращаться. Если защитился, значит, правильно разделил :)
Это человек может отказаться делить на ноль, а машины тупые: им подсунешь N = 0, X = 1 / N, и она будет исполнять. Как тут в комментариях упоминали механический калькулятор, который скатывался в бесконечный цикл вычитаний. Приходится искать практические решения.
no subject
Date: 2025-02-15 08:15 pm (UTC)Монография.
no subject
Date: 2025-02-15 11:22 pm (UTC)Это ещё только черновик к маленькой главе в монографии.
no subject
Date: 2025-02-15 08:42 pm (UTC)Можно 0 поделить на 0.
0 / 0 = ?
Тогда ноль сократится, и останется конечная величина. Этим тоже люди занимаются, я уже дальше не помню. Получают конкретные результаты. Там и теорией пределов манипулируют, и всякими рядами и теорией чисел.
no subject
Date: 2025-02-15 11:26 pm (UTC)«0 / 0» – особый случай. Я в посте пишу, что его можно рассматривать как «любое число», потому что любое число, умноженное на ноль даст ноль. В случае функции f(x) / g(x), где f(x0) = 0 и g(x0) = 0, её предел в x0 может быть любым.
Но можно определить, что 0 / 0 = ⊥ (нижний элемент в теории колёс). Или что 0 / 0 = NaN («нечисло» в языке программирования Java). Или что 0 / 0 = 0 (в формальных доказательствах).
no subject
Date: 2025-02-15 09:01 pm (UTC)ой, лучше раздели что-нибудь на апельсины....
no subject
Date: 2025-02-15 11:29 pm (UTC)Получатся обратные апельсины. Можно, например, разделить содержание сахаров в граммах на апельсины: 14 г / апельсин.
Интереснее разделить на апельсины дважды: получатся обратные квадратные апельсины.
no subject
Date: 2025-02-15 09:20 pm (UTC)Возник риторический вопрос: "А зачем делить на ноль? Из любопытства?" :-)
Да, могу и ошибаться, но говорят, что ацтеки хорошо себя чувствовали без 0 :-) Врут поди люди? :-)
no subject
Date: 2025-02-15 11:40 pm (UTC)О математике ацтеков вряд ли осталось много источников, а вот у майя ноль как раз был. Без нуля себя хорошо чувствовали древние греки (и римляне).
Помимо желания, чтобы ко всем привычным нам числам были применимы все 4 действия арифметики в любом порядке, деление на ноль перестаёт быть пустым любопытством, когда появляется алгебра, то есть обозначение чисел через переменные. В этом случае любое деление на переменную должно учитывать деление на ноль, иначе возможны логические ошибки вроде 1 = 2.
Например, уравнение x2 + x = 0 имеет два корня: x = 0 и x = –1. Но на первый взгляд аналогичное уравнение 1 / x + 1 / x2 = 0, которое приводится к первому умножением на x3, в школьной математике имеет только корень x = –1. Потому что в школе «на ноль делить нельзя». И мы проверяли область допустимых значений. С определением N / 0 = 0, x = 0, конечно, остаётся корнем.
Ещё важнее определить деление на ноль, когда мы делим переменные в компьютерном коде. Даже если нам кажется, что делитель никогда не будет нулём, желательно этот вопрос при каждом 1 / N обработать. И тут уже не просто любопытство или школьные задачки, а работа тех систем, которые контролируются компьютером.
(no subject)
From:(no subject)
From:no subject
Date: 2025-02-15 09:30 pm (UTC)Широко известно выражение о никчемном человеке: ты нуль без палочки, а о какой то новой, качественной вещи говорят: нулевая. Согласно данным выражениям нуль совсем не ноль и отличается от него некой палочкой. Следует заметить, что понятие бесконечности было введено в Индии и графически выражалось в виде круга с палочкой по диаметру, то есть тем самым нулём, а нуль без палочки и есть ноль. Вот только в ряду натуральных чисел нуль не заслуженно перенесли крайним в право, а его истинное место первый слева до ноля и он является бесконечно малым числом, дробью, не видимой частью, но учитываемой в математике.
no subject
Date: 2025-02-15 11:41 pm (UTC)Если писать слева направо, то нуль как раз крайний слева в ряду натуральных чисел: 0, 1, 2, ...
no subject
Date: 2025-02-15 10:38 pm (UTC)TLDR;
Вам предстоит еще много открытий в математике...
Например, бесконечность, которую вы столько раз упоминали, может быть сильно разной. Внезапно, у нее есть такое понятие, как мощность. И бесконечности большей мощности, больше, чем бесконечности меньшей мощности.
Но я вам не советую в это углубляться, а то крыша совсем поедет :) Там с бесконечностями первых мощностей все более-менее понятно, а вот дальше полный пипец...
no subject
Date: 2025-02-15 11:47 pm (UTC)Если всё пойдёт по моему плану, то разберёмся и с бесконечностями. Штуки, которые я сам не смогу понять, вряд ли будут интересны широкому кругу читателей. Но объяснение с отелем Гильберта многие любят и повторяют. Надо будет что-нибудь своё придумать.
no subject
Date: 2025-02-15 11:48 pm (UTC)Допустим, МЫ мяу: https://g0tzendammerung.livejournal.com/116747.html
no subject
Date: 2025-02-15 11:50 pm (UTC)Мне такой стиль изложения не импонирует. Так и ИИ может написать.
no subject
Date: 2025-02-16 01:28 am (UTC)Плохо Вы драконов знаете, товарищ автор. Если надо разделить семь колец среди семи драконов, то все они достанутся одному -сильнейшему из них)
no subject
Date: 2025-02-16 01:34 am (UTC)Охотно в это поверю. Уж они точно не достанутся самому подкованному в математике дракону :)
Есть занимательная задача, где 6 пиратов делят клад по особым условиям. И там получается решение, что самый сильный пират забирает себе весь клад и все с этим разделом соглашаются, потому что это максимизирует их шансы выжить. Если руки дойдут, надо будет и её разобрать и обсудить.
(no subject)
From: