Коварные карты и справедливые монеты
Mar. 23rd, 2026 08:09 pm![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
andresolЯ с детства обожаю занимательные задачи по математике. Вчера в приложении Brilliant мне попалась на первый взгляд элементарнейшая задачка:
Задача №1. В колоде 52 карты: 26 красных и 26 чёрных (никаких джокеров). После того как колода тщательно перетасована, какова вероятность того, что верхняя и нижняя карты окажутся одного цвета?
A) Меньше 50%. B) Ровно 50%. C) Больше 50%. D) Невозможно сказать, потому что здесь какой-то трюк.
Как говорится: выберите ответ, который вам больше всего нравится. Я выбрал, не задумываясь:
Трюк действительно был. Я рассказал брату о своём фиаско. После жирной подсказки, что я поторопился и ответил неправильно, он моментально решил эту задачу и заметил, что чтобы глубже осознать мою ошибку, надо решить задачу №2.
Задача №2. Мы подбрасываем 52 честные монеты. Какова вероятность того, что результаты подбрасывания первой и пятьдесят второй монеты совпадут (то есть либо обе выпадут «решкой», либо обе выпадут «орлом»)?
A) Меньше 50%. B) Ровно 50%. C) Больше 50%. D) Здесь точно какой-то трюк.
Интересно, в советское время, когда на монетах не было никаких орлов, продолжали говорить «орёл или решка»? В английском языке говорят heads or tails (головы или хвосты), у древних римлян было navia aut caput (корабль или голова), у нумизматов есть свои аверс и реверс, в которых я постоянно путаюсь. Мой брат заметил, что и «решка» – странное слово, которое используется только для обозначения стороны монеты. Вики пишет, что оно, вероятнее всего, произошло от императорского вензеля в виде решётки, но есть ещё версия, что решка = ряшка = ряха = лик Государя Императора. А под «честной монетой» (fair coin) в теории вероятности обозначают не то, что она не фальшивая, а то, что при её подбрасывании Ленин с вероятностями по 50% упадёт либо головой, либо хвостом кверху, но ни в коем случае не на ребро:
Различие между картами и монетами становится очевидным, если переформулировать задачи на две карты (1 красная, 1 чёрная) и на броски всего двух монет. Поэтому в блэкджеке можно считать карты, а при игре в рулетку верить, что после красного вероятнее выпадет чёрное, – ошибка игрока (gambler’s fallacy или «ложный вывод Монте-Карло»). Я как раз в феврале прочитал «Игрока» Достоевского, где герои не дружат с теорией вероятности:
Затем я задал обе задачи (на английском) ИИ-чатам. Разумеется, они легко их решили. Про первую задачу СhatGPT пошутил, что нет варианта ответа «0 или 1»: верхняя и нижняя карты или будут одного цвета, или не будут. А Gemini задал мне в ответ задачу в типичном для ИИ многословном стиле:
Задача №3. Профессор достает из кармана небольшой шелковый мешочек на шнурке. «Внутри этого мешочка, — объявляет он, — находятся ровно два шарика: один — белый, как облако, а другой — черный, как уголь».
Он приглашает на сцену добровольца. «Опустите руку внутрь, не глядя, и вытащите один шарик. Запомните его цвет, а затем положите обратно. Но вот в чем хитрость: прежде чем вы будете тянуть снова, я добавлю в мешочек третий шарик — точную копию того, который вы только что вытащили».
Доброволец вытаскивает белый шарик. Профессор кивает и опускает в мешочек второй белый шарик. Теперь внутри три шарика: два белых и один черный.
«Каждый раз, вытаскивая шарик, вы будете класть его обратно, а я добавлять к нашей коллекции новый шарик того же цвета, — говорит Профессор, и глаза его озорно поблескивают. — Мы будем повторять этот процесс до тех пор, пока в мешочке не окажется ровно 52 шарика. Какова вероятность, что шарик, вытащенный из этого переполненного мешочка, окажется белым?»
A) 1/2. B) 2/3. C) 51/52. D) Невозможно предсказать.
Так как первый вытащенный шарик был белый и в мешочке уже два белых и один чёрный, я был уверен, что вероятность вытащить белый будет только увеличиваться. К 52-му испытанию белых шариков в мешочке должно стать как грязи. Тем удивительнее мне было увидеть ответ, который ИИ посчитал правильным.
Чат рассказал, что эта модель называется «урна Пойи» (Pólya urn). Почему урна, а не мусорное ведро Пойи? «В своем труде “Искусство предположений” (Ars Conjectandi, 1713) Якоб Бернулли рассмотрел задачу определения пропорций камешков различных цветов, находящихся в урне, на основе анализа некоторого количества камешков, извлеченных из нее. Бернулли использовал латинское слово urna, которое в первую очередь означает глиняный сосуд, но в Древнем Риме также служило общим термином для обозначения любого сосуда, предназначенного для сбора избирательных бюллетеней или жребия»:
Имя математика было мне знакомо. Дьёрдь Пойа (1887–1985) – венгерско-швейцарско-американский математик и популяризатор математики. Ну, популяризатор для тех, кто уже в математике шарит. Нашёл такую байку из его воспоминаний: «В Цюрихе проходил семинар для студентов старших курсов, который вёл я, и среди слушателей был фон Нейман. Я подошел к одной задаче и заметил, что она не решена и может оказаться сложной. Фон Нейман ничего не сказал, но спустя пять минут поднял руку. Когда я предоставил ему слово, он вышел к доске и приступил к записи доказательства. С тех пор я побаивался фон Неймана»:
В попытке разобраться, кто глючит – Gemini или я – я нашёл объяснение «на пальцах», как работает урна Пойи, по невероятному совпадению на примере колоды из 52 карт + джокер. И я увидел, что я не фон Нейман. Отдельные шаги я ещё понимал, но общая глубокая картина от меня ускользала.
Во время сегодняшнего хайка я пересказал ответ с Mathematics Stack Exchange другому близнецу. Мой брат, который тоже не фон Нейман, но PhD по математике когда-то получил, ответил, что в изначальной задаче произошла подмена понятий. ИИ задал вопрос не о вероятности, а о математическом ожидании распределения вероятностей. Из трёх шариков, какого бы они цвета ни были, нельзя вытянуть белый с вероятностью 1/2. И тут я всё понял. Изображение урны Пойи из какой-то статьи в Nature по биологии:
Как однажды заметил всё тот же Пойа: «Лучше решить одну задачу пятью разными способами, чем пять задач – одним». Хоть одно решение до меня дойдёт. Если хотите сравнить и обсудить решения трёх поставленных задач, с радостью пообщаюсь в комментариях. А закончу ещё одним анекдотом:
Харди некоторое время работал вместе с Пойа, и во время их совместной работы Пойа выдвинул некую оригинальную идею, которую Харди одобрил. Однако Пойа не спешил развивать свою идею, что не понравилось Харди, который прямо не выказал своё недовольство коллеге. Харди сделал это несколько позже, когда вместе с другим коллегой он посетил Стокгольмский зоопарк. Там они увидели медведя, сидящего в запертой клетке, а замок висел на дверце снаружи. Медведь подошёл к дверце, потрогал лапой замок, фыркнул, немного порычал и ушёл вглубь клетки. Харди саркастически заметил: «Как он похож на Пойа – у того тоже бывают великолепные идеи, но он никогда не доводит их до конца».
А как вы решаете задачи: как фон Нейман или как стокгольмский медведь? Я как медведь: потрогаю лапой, и если не решается, лезу в ответы.
Задача №1. В колоде 52 карты: 26 красных и 26 чёрных (никаких джокеров). После того как колода тщательно перетасована, какова вероятность того, что верхняя и нижняя карты окажутся одного цвета?
A) Меньше 50%. B) Ровно 50%. C) Больше 50%. D) Невозможно сказать, потому что здесь какой-то трюк.
Как говорится: выберите ответ, который вам больше всего нравится. Я выбрал, не задумываясь:
Трюк действительно был. Я рассказал брату о своём фиаско. После жирной подсказки, что я поторопился и ответил неправильно, он моментально решил эту задачу и заметил, что чтобы глубже осознать мою ошибку, надо решить задачу №2.
Задача №2. Мы подбрасываем 52 честные монеты. Какова вероятность того, что результаты подбрасывания первой и пятьдесят второй монеты совпадут (то есть либо обе выпадут «решкой», либо обе выпадут «орлом»)?
A) Меньше 50%. B) Ровно 50%. C) Больше 50%. D) Здесь точно какой-то трюк.
Интересно, в советское время, когда на монетах не было никаких орлов, продолжали говорить «орёл или решка»? В английском языке говорят heads or tails (головы или хвосты), у древних римлян было navia aut caput (корабль или голова), у нумизматов есть свои аверс и реверс, в которых я постоянно путаюсь. Мой брат заметил, что и «решка» – странное слово, которое используется только для обозначения стороны монеты. Вики пишет, что оно, вероятнее всего, произошло от императорского вензеля в виде решётки, но есть ещё версия, что решка = ряшка = ряха = лик Государя Императора. А под «честной монетой» (fair coin) в теории вероятности обозначают не то, что она не фальшивая, а то, что при её подбрасывании Ленин с вероятностями по 50% упадёт либо головой, либо хвостом кверху, но ни в коем случае не на ребро:
Различие между картами и монетами становится очевидным, если переформулировать задачи на две карты (1 красная, 1 чёрная) и на броски всего двух монет. Поэтому в блэкджеке можно считать карты, а при игре в рулетку верить, что после красного вероятнее выпадет чёрное, – ошибка игрока (gambler’s fallacy или «ложный вывод Монте-Карло»). Я как раз в феврале прочитал «Игрока» Достоевского, где герои не дружат с теорией вероятности:
Затем я задал обе задачи (на английском) ИИ-чатам. Разумеется, они легко их решили. Про первую задачу СhatGPT пошутил, что нет варианта ответа «0 или 1»: верхняя и нижняя карты или будут одного цвета, или не будут. А Gemini задал мне в ответ задачу в типичном для ИИ многословном стиле:
Задача №3. Профессор достает из кармана небольшой шелковый мешочек на шнурке. «Внутри этого мешочка, — объявляет он, — находятся ровно два шарика: один — белый, как облако, а другой — черный, как уголь».
Он приглашает на сцену добровольца. «Опустите руку внутрь, не глядя, и вытащите один шарик. Запомните его цвет, а затем положите обратно. Но вот в чем хитрость: прежде чем вы будете тянуть снова, я добавлю в мешочек третий шарик — точную копию того, который вы только что вытащили».
Доброволец вытаскивает белый шарик. Профессор кивает и опускает в мешочек второй белый шарик. Теперь внутри три шарика: два белых и один черный.
«Каждый раз, вытаскивая шарик, вы будете класть его обратно, а я добавлять к нашей коллекции новый шарик того же цвета, — говорит Профессор, и глаза его озорно поблескивают. — Мы будем повторять этот процесс до тех пор, пока в мешочке не окажется ровно 52 шарика. Какова вероятность, что шарик, вытащенный из этого переполненного мешочка, окажется белым?»
A) 1/2. B) 2/3. C) 51/52. D) Невозможно предсказать.
Так как первый вытащенный шарик был белый и в мешочке уже два белых и один чёрный, я был уверен, что вероятность вытащить белый будет только увеличиваться. К 52-му испытанию белых шариков в мешочке должно стать как грязи. Тем удивительнее мне было увидеть ответ, который ИИ посчитал правильным.
Чат рассказал, что эта модель называется «урна Пойи» (Pólya urn). Почему урна, а не мусорное ведро Пойи? «В своем труде “Искусство предположений” (Ars Conjectandi, 1713) Якоб Бернулли рассмотрел задачу определения пропорций камешков различных цветов, находящихся в урне, на основе анализа некоторого количества камешков, извлеченных из нее. Бернулли использовал латинское слово urna, которое в первую очередь означает глиняный сосуд, но в Древнем Риме также служило общим термином для обозначения любого сосуда, предназначенного для сбора избирательных бюллетеней или жребия»:
Имя математика было мне знакомо. Дьёрдь Пойа (1887–1985) – венгерско-швейцарско-американский математик и популяризатор математики. Ну, популяризатор для тех, кто уже в математике шарит. Нашёл такую байку из его воспоминаний: «В Цюрихе проходил семинар для студентов старших курсов, который вёл я, и среди слушателей был фон Нейман. Я подошел к одной задаче и заметил, что она не решена и может оказаться сложной. Фон Нейман ничего не сказал, но спустя пять минут поднял руку. Когда я предоставил ему слово, он вышел к доске и приступил к записи доказательства. С тех пор я побаивался фон Неймана»:
В попытке разобраться, кто глючит – Gemini или я – я нашёл объяснение «на пальцах», как работает урна Пойи, по невероятному совпадению на примере колоды из 52 карт + джокер. И я увидел, что я не фон Нейман. Отдельные шаги я ещё понимал, но общая глубокая картина от меня ускользала.
Во время сегодняшнего хайка я пересказал ответ с Mathematics Stack Exchange другому близнецу. Мой брат, который тоже не фон Нейман, но PhD по математике когда-то получил, ответил, что в изначальной задаче произошла подмена понятий. ИИ задал вопрос не о вероятности, а о математическом ожидании распределения вероятностей. Из трёх шариков, какого бы они цвета ни были, нельзя вытянуть белый с вероятностью 1/2. И тут я всё понял. Изображение урны Пойи из какой-то статьи в Nature по биологии:
Как однажды заметил всё тот же Пойа: «Лучше решить одну задачу пятью разными способами, чем пять задач – одним». Хоть одно решение до меня дойдёт. Если хотите сравнить и обсудить решения трёх поставленных задач, с радостью пообщаюсь в комментариях. А закончу ещё одним анекдотом:
Харди некоторое время работал вместе с Пойа, и во время их совместной работы Пойа выдвинул некую оригинальную идею, которую Харди одобрил. Однако Пойа не спешил развивать свою идею, что не понравилось Харди, который прямо не выказал своё недовольство коллеге. Харди сделал это несколько позже, когда вместе с другим коллегой он посетил Стокгольмский зоопарк. Там они увидели медведя, сидящего в запертой клетке, а замок висел на дверце снаружи. Медведь подошёл к дверце, потрогал лапой замок, фыркнул, немного порычал и ушёл вглубь клетки. Харди саркастически заметил: «Как он похож на Пойа – у того тоже бывают великолепные идеи, но он никогда не доводит их до конца».
А как вы решаете задачи: как фон Нейман или как стокгольмский медведь? Я как медведь: потрогаю лапой, и если не решается, лезу в ответы.
no subject
Date: 2026-03-24 03:47 am (UTC)no subject
Date: 2026-03-24 04:34 am (UTC)no subject
Date: 2026-03-24 05:11 am (UTC)в твиттере я читаю некое количество математиков. и один из них, когда у него приближается очередной deadline, вместо того, чтобы заняться делом начинает постить бешеные и да, очень коварные комбинаторные задачи. он это довел до некоего довольно экстремального состояния, что почти все его ответы кажутся неверными на первый взгляд, и народ с ним спорит. но потом, как правило после долгих вычислений все убеждаются, что ответ верный ... а! вспомнил, его зовут Daniel Litt
https://www.quantamagazine.org/perplexing-the-web-one-probability-puzzle-at-a-time-20240829/
no subject
Date: 2026-03-24 05:27 am (UTC)Для меня задача красива, если я думал, что она простая, но в итоге решил неправильно, а потом понял свою ошибку. Если сразу решаю правильно или решение выше моего уровня, красоту оценить не могу.
Спасибо за ссылку, на досуге почитаю. Хитрые задачи, которые при этом может понять человек с школьным образованием за плечами, мне могут пригодиться.
no subject
Date: 2026-03-24 07:53 pm (UTC)в комбинаторике конечно же есть и идеи, и красота
в каком-то смысле и формула Стирлинга для n! наверное имеет отношение к комбинаторике. т.к. там везде факториалы. а эта формула, хотя это и численное приближение, все же очень хороша. я ее помню просто наизусть и могу даже вывести из определения гамма функции методом перевала, ну как нас учили в институте
не все знают, но формула Стирлинга прекрасно работает когда n совсем небольшое. 1 там или 2 или 3, ответ получается уже неплохой
no subject
Date: 2026-03-24 08:19 pm (UTC)no subject
Date: 2026-03-25 04:09 am (UTC)вот напрмер с колодой все становится до смешного очевидно, если рассмотреть колоду из 4 карт, где две карты это 0, и две карты это 1.
если первая и последняя это 1, то есть только один такой вариант: 1001
если первая и последняя это 0, то есть только один такой вариант: 0110
на этом все! все остальные варианты идут с разными картами вначале и в конце.
например если 1..0, то это сразу два варианта: 1010 и 1100. хаха, вот тут подвох особенно заметен
ну и если 0..1, то тоже два варианта: 0011 и 0101
всего 6 вариантов. т.е. вероятность одинаковых первой и последней карты крайне мала, типа 1/3 а разные это аж 2/3
no subject
Date: 2026-03-25 04:32 am (UTC)no subject
Date: 2026-03-24 11:39 am (UTC)no subject
Date: 2026-03-24 03:26 pm (UTC)Отлетающие атомы и деформации при падении будут немного смещать свойства физической монеты. Да и бросатель или бросательная машина тоже меняются. Я порой люблю придумывать альтернативные решения, которые возможны в реальном физическом, а не абстрактном математическом мире. Хороший фокусник так бы тасовал колоду, что у него всегда верхняя и нижняя карты оказывались одного цвета.
no subject
Date: 2026-03-24 12:25 pm (UTC)Профиль церей был только на серебряных и золотых монетах крупного номинала (от 50 копеек).
no subject
Date: 2026-03-24 03:20 pm (UTC)